9.定积分
9.1 定积分概念
9.1.1 问题提出
- 曲边梯形的面积
- 曲边梯形
$ \ \ $设$\ f\ $为闭区间$[a,b]$上的连续函数，且$\ f(x)\ge 0\ $.由曲线$\ y=f(x)\ $,直线$\ x=a\ $,$\ x=b\ $以及$\ x\ $轴所围成的平面图形,称为曲边梯形.
- 面积(多边形面积极限定义)
$ \ \ $在区间$[a,b]$上任取$\ n-1\ $个分点,他们依次为
$$a=x_0<x_1<x_2<…<x_{n-1}<x_n=b,$$
$ \ \ $这些点把$[a,b]$分割成$\ n\ $个小区间$[x_{i-1},x_i]$,$i=1,2,…,n$.再用直线$\ x=x_i $,$i=1,2,…,n-1$把曲边梯形分割成$\ n\ $个小曲边梯形.
$ \ \ $在每个小区间$[x_{i-1},x_i]$上任取一点$\ \xi_i\ $,作以$\ f(\xi_i)\ $为高,$[x_{i-1},x_i]$为底的小矩形.当分割[a,b]的分点较多,又分割得较细密时,由于$\ f\ $为连续函数，它在每个小区间上的值变化不大,从而可用这些小矩形的面积近似替代相应小曲边梯形的面积. 于是这$\ n\ $个小矩形面积之和就可作为该曲边梯形面积$\ S\ $的近似值,即
$$S\approx \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i\ \ (\Delta x_i=x_i-x_{i-1})$$
- 变力所做的功