6.微分中值定理及其应用

6.1 拉格朗日定理和函数的单调性

6.1.1 罗尔定理与拉格朗日定理

定理6.1（罗尔(Rolle)中值定理）：
若函数$\ f\ $满足如下条件：
(i)$\ f\ $在闭区间$[a,b]$上连续;
(ii)$\ f\ $在开区间$(a,b)$上可导;
(iii)$\ f(a)=f(b)\ $,
则在$\ (a,b)\ $内至少存在一点$\ xi\ $,使得
$${f}’(\xi)=0.$$

6.2 柯西中值定理和不定式极限

6.3 泰勒公式

6.3.1 带有佩亚诺余项的泰勒公式

定理6.9 若函数$\ f\ $在点$\ x_0\ $存在直至$\ n\ $阶导数，则有$\ f(x)=T_n(x)+o((x-x_0)^n)\ $，即
$$ f(x)=f(x_0) + {f}’(x_0)(x-x_0) + \frac