1.实数集与函数
1.1 实数
1.1.1 实数及其性质
- 封闭性
- 有序性
- 传递性
- 阿基米德性($Archimedes$)
$\forall a,b \in \mathrm {R}, $
$ 若 b>a>0, $
$则\exists n\in \mathrm {N}^*， $
$使得na>b.$ - 稠密性
- 数轴
1.1.2 绝对值与不等式
- $|a|-|b|\le |a\pm b|\le |a|+|b|$ （三角不等式）
- $|ab|=|a|\cdot|b|$
- $|\frac{a}{b}|=\frac{|a|}{|b|}$
1.2 数集·确界原理
1.2.1 区间与邻域
区间
- 开区间
- 闭区间
邻域
$设\ a\in\mathrm {R},\delta > 0 $
- 邻域：点$\ a\ $的$\ \delta \ $邻域，记作$\ U(a;\delta )$:
$$U(a;\delta )= \lbrace x||x-a|< \delta \rbrace = (a-\delta ,a+\delta )$$ - 空心邻域：点$\ a\ $的空心$\ \delta\ $邻域，记作$\ \mathring{U}(a;\delta )\ $:
$$\mathring{U}(a;\delta )=\lbrace x|0<|x-a|<\delta \rbrace$$
1.2.2 有界性·确界原理
有界性
$ \ \ $定义1： 设$\ S\ $为$\ \mathrm {R} \ $中的一个数集.若存在数$\ M(L)\ $,使得对一切$\ x\in S\ $,都有$\ x\le M(X\ge L)\ $,则称$\ S\ $为有上界(下界)的数集,数$\ M(L)\ $称为$\ S\ $的一个上界(下界).
若数集$\ S\ $既有上界又有下界,则称$\ S\ $为有界集.若$\ S\ $不是有界集,则称$\ S\ $为无界集.
$ \ \ $定义2：设$\ S\ $为$\ \mathrm {R}\ $中的一个数集.若数$\ \eta\ $满足：
$(i)$ 对一切$\ x\in S\ $,有$\ x\le \eta\ $, 即$\ \eta\ $是$\ S\ $的上界;
$(ii)$ 对任何$\ \alpha \in S\ $,存在$\ x_0 \in S\ $,使得$\ x_0>\alpha\ $,即$\ \eta\ $又是$\ S\ $的最小上界,则称数$\ \eta\ $为数集$\ S\ $的上确界,记作
$$\eta =sup\ S$$
注：sup是拉丁文supremumm(上确界)一词的缩写.
翻译：
- $\eta\ $是上界.
- $\eta\ $是最小上界 $\Leftrightarrow$ 比$\eta$小的不是上界 $\Leftrightarrow$ 对任意比$\ \eta\ $小的数，数集中存在数比这个数大.
$ \ \ $定义3：设$\ S\ $为$\ \mathrm {R}\ $中的一个数集.若数$\ \xi \ $满足：
$(i)$ 对一切$x\in S,有x\ge \xi , 即\xi 是S的下界;$
$(ii)$ 对任何$\beta\in S$,存在$x_0 \in S$,使得$\ x_0<\beta\ $,即$\ \xi\ $又是$\ S\ $的最大下界,则称数$\ \xi\ $为数集$\ S\ $的下确界,记作
$$\xi =inf\ S$$
注：inf是拉丁文infimum(下确界)一词的缩写.
翻译：
- $\xi\ $是下界.
- $\xi\ $是最大下界 $\Leftrightarrow$ 比$\ \xi\ $大的不是下界 $\Leftrightarrow$ 对任意比$\ \xi\ $大的数，数集中存在数比这个数小.
上确界与下确界统称为确界.
- 注 1. 数集的确界是唯一的.
- 注 2. 数集的确界可能属于$\ S\ $,也可能不属于$\ S\ $.
确界原理
$ \ \ $定理1.1(确界原理) 设$\ S\ $为非空数集,若$\ S\ $有上界,则$\ S\ $必有上确界;若$\ S\ $有下界,则$\ S\ $必有下确界.
$\ $
注：确界原理是极限理论的基础.
翻译：
- 上界中总有最小的;下界中总有最大的.
*推广的确界原理
规定：在$\bar{\mathrm {R}}$下,任一实数$a$与$+\infty$,$-\infty$的大小关系为:$a<+\infty$,$a>-\infty$,$-\infty<+\infty$
定义：$+\infty$为$\ S\ $的非正常上确界,记作$sup\ S=+\infty$;$-\infty$为$\ S\ $的非正常下确界,记作$inf\ S=-\infty$.
$ \ \ $推广的确界原理：任一非空数集必有上、下确界(正常的或非正常的).
1.3 函数概念
1.3.1 函数的定义
$ \ \ $定义1： 给定两个实数集$\ D\ $和$\ M\ $,若有对应法则$\ f\ $,使对$\ D\ $内每一个数$\ x\ $,都有唯一的一个数$\ y\in M\ $与它相对应,则称$\ f\ $是定义在数集$\ D\ $上的函数,记作：
$$
\begin{array}
\ f:D\to M,\\
\ \ \ x \mapsto y.
\end{array}
$$
数集$\ D\ $称为函数$\ f\ $的定义域,$\ x\ $所对应的数$\ y\ $称为$\ f\ $在点$\ x\ $的函数值,常记为$\ f(x)\ $.全体函数值的集合
$$f(D)=\lbrace y|y=f(x),x\in D \rbrace (\subset M)$$
称为函数$\ f\ $的值域.
$\ $
存在域：使函数运算式有意义的自变量的全体称为存在域(自然定义域)
$\ $
函数$\ f\ $给出看$\ x\ $轴上点集$\ M\ $之间的单值对应,也称为映射.对于$\ a\in D\ $,$\ f(a)\ $称为映射$\ f\ $下$\ a\ $的像,$\ a\ $则称为$\ f(a) $的原像
$$\ $$
注1：实数集$\ M\ $常以$\ \mathrm {R}\ $代替，故常用$$y =f(x),x\in D$$表示一个函数.所以两个函数相同是指定义域和对应法则都相同
翻译：
- 定义1中的$\ M(R) $并非值域,而是映射到的范围.个人认为例如用来区分实分析与分析.
单值函数
- 在函数的定义中,对每一个$\ x\in D\ $,只能有唯一的一个$\ y\ $值与它对应,这样定义的函数被称为单值函数.若同一个$\ x\ $值可以对应多于一个的$\ y\ $值,则称这种函数为多值函数.
- 在本书范围内,只讨论单值函数.
1.3.2 函数的表示法
函数的表示法主要有三种
- 解析法(公式法)
- 列表法
- 图像法
符号函数
$$
f(x) =
\begin{cases}
1,\quad x>0\ ,\\
0,\quad x=0\ ,\\
-1,\ x<0
\end{cases}
$$
例如：
$$\ f(x)=|x|\ $$
分段函数形式：
$$
f(x) =
\begin{cases}
x,\quad x\ge 0\ ,\\
-x,\quad x<0.\
\end{cases}
$$
使用符号函数：
$$
f(x) = xsgn\ x
$$
集合
函数 $\ y=f(x),x\in D\ $又可用如下有序数对的集合：
$$
G={(x,y)|y=f(x),x\in D}
$$
来表示.
语言描述
有些函数只能用语言来描述.
- 定义在$\ \mathrm {R}\ $上的狄利克雷(Dirichlet)函数
$$
D(x) =
\begin{cases}
1,\quad 当x=为有理数,\\
0,\quad 当x=为无理数.
\end{cases}
$$ - 定义在$[0,1]$上的黎曼(Riemann)函数
$$
R(x) =
\begin{cases}
\frac{1}{q},\quad 当x=\frac{p}{q} (p,q\in \mathrm {N_+},\frac{p}{q}为既约真分数),\\
0,\quad \ 当x=0,1和(0,1)内的无理数.
\end{cases}
$$
1.3.3 函数的四则运算
和差积商
- 函数$\ f\ $和函数$\ g\ $的运算记法：
- 和：$f+g$
- 差：$f-g$
- 积：$fg$
- 商：$\frac{f}{g}$
1.3.4 复合函数
设有两函数
$$
\begin{array}
\ y=f(u),u\in D,\\
u=g(x),x\in E.
\end{array}
$$
记$\ E^* =\lbrace x|g(x)\in D\rbrace \cap E.\ $ 若 $\ E^* \ne \emptyset \ $,可通过函数$\ g\ $对应$\ D\ $内唯一的一个值$\ u\ $,而$\ u\ $又通过函数$\ f\ $对应唯一的一个值$\ y.\ $这就确定了一个定义在$\ E^* \ $上的函数,它以$\ x\ $为自变量,$\ y\ $为因变量,记作
$$y=f[g(x)],x\in E^* \quad 或 \quad\ \ y=f\circ g(x),x\in E^*, $$
称为函数$\ f\ $和$\ g\ $的复合函数.并称$\ f\ $为外函数,$\ g\ $为内函数,$\ u\ $为中间变量.